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  3. 设随机变量X的概率密度为f(x)，已知D(X)=1，而随机变量Y的概率密度为f(一x)，且ρXY=，记Z=X+Y，求E(Z)，D(Z)．

设随机变量X的概率密度为f(x)，已知D(X)=1，而随机变量Y的概率密度为f(一x)，且ρXY=，记Z=X+Y，求E(Z)，D(Z)．

admin2017-10-25  37
问题 设随机变量X的概率密度为f(x)，已知D(X)=1，而随机变量Y的概率密度为f(一x)，且ρXY=，记Z=X+Y，求E(Z)，D(Z)．
选项
答案E(Z)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)=∫－∞＋∞xf(x)dx+∫－∞＋∞yf(一y)dy， 令y=一x，则∫－∞＋∞yf(一y)dy=∫＋∞－∞(一x)f(x)d(－x)=－∫－∞＋∞xf(x)dx， 所以E(Z)=0． 又D(Y)=E(Y2)一[E(Y)]2=E(Y2)一[一E(X)]2， 而E(Y2)=∫－∞＋∞y2f(一y)dy=∫＋∞－∞(一x)2f(x)d(一x)=∫－∞＋∞x2f(x)dx=E(X2)， 所以D(Y)=E(Y2)一[一E(X)]2=E(X2)一[E(X)]2=D(X)=1． 于是D(Z)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y) =D(X)+D(Y)+[*] =1+1+[*]．
解析
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考研数学三

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