设矩阵A=(aij)3×3满足A*=AT,其中A*为A的伴随矩阵,AT为A的转置矩阵.若a11,a12,a13为三个相等的正数,则a11,为【 】

admin2019-03-11  35

问题 设矩阵A=(aij)3×3满足A*=AT,其中A*为A的伴随矩阵,AT为A的转置矩阵.若a11,a12,a13为三个相等的正数,则a11,为【    】
   

选项 A、 
B、 
C、 
D、 

答案A

解析 由题设条件A*=AT,即
    其中Aij为∣A∣中元素aij的代数余子式(i,j=1,2,3),得aij=Aij(i,j=1,2,3),故有
    再从AT=A*两端取行列式,得
    ∣A∣=∣AT∣=∣A*∣=∣A∣2,即∣A∣(1一∣A∣)=0由此得∣A∣=1.所以,有
   
本题主要考查伴随矩阵的概念及行列式按行(列)展开法则.注意,条件AT=A*与条件aij=Aij(对所有的i,j)是等价的.本题还用到伴随矩阵的一个结果:对任何n(n≥2)阶方阵A,成立∣A*∣=∣A∣n-1
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