2. 考研
  3. 设曲线L：y＝f(x)位于第一象限，且经过点M0(1，3)，P(x，y)为曲线L上的任一点，在[0，x]上，以f(x)为高的矩形面积与上以L为曲边的曲边梯形面积的三倍之差等于－x2． (Ⅰ)求f(x)； (Ⅱ)求y＝f(x)与x轴及x＝2围成的区域绕x＝3

设曲线L：y＝f(x)位于第一象限，且经过点M0(1，3)，P(x，y)为曲线L上的任一点，在[0，x]上，以f(x)为高的矩形面积与上以L为曲边的曲边梯形面积的三倍之差等于－x2． (Ⅰ)求f(x)； (Ⅱ)求y＝f(x)与x轴及x＝2围成的区域绕x＝3

admin2021-03-18  56
问题 设曲线L：y＝f(x)位于第一象限，且经过点M0(1，3)，P(x，y)为曲线L上的任一点，在[0，x]上，以f(x)为高的矩形面积与上以L为曲边的曲边梯形面积的三倍之差等于－x2．
(Ⅰ)求f(x)；
(Ⅱ)求y＝f(x)与x轴及x＝2围成的区域绕x＝3旋转一周而成的旋转体的体积．
选项
答案 (Ⅰ)由题意得xf(x)－3∫0xf(t)dt＝－x2， 两边对x求导得 xf’(x)－2f(x)＝－2x，或f’(x)－[*]＝－2． 解得f(x)＝[*] 因为曲线经过点M0(1，3)，所以C＝1，即f(x)＝x2＋2x； (Ⅱ)取[x，x＋dx][*][0，2]，则 dV＝2π(3－x)ydx＝2π(3－x)(x2＋2x)dx， 则 V＝2π∫02(3－x)(x2＋2x)dx＝[*]．
解析
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考研数学二

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