2. 考研
  3. 设z=z(x，y)是由9x2—54xy+90y2一6yz—z2+18=0确定的函数，(Ⅰ)求z=z(x，y)一阶偏导数与驻点；(Ⅱ)求z=z(x，y)的极值点和极值．

设z=z(x，y)是由9x2—54xy+90y2一6yz—z2+18=0确定的函数，(Ⅰ)求z=z(x，y)一阶偏导数与驻点；(Ⅱ)求z=z(x，y)的极值点和极值．

admin2015-04-30  55
问题 设z=z(x，y)是由9x2—54xy+90y2一6yz—z2+18=0确定的函数，(Ⅰ)求z=z(x，y)一阶偏导数与驻点；(Ⅱ)求z=z(x，y)的极值点和极值．
选项
答案(Ⅰ)利用一阶全微分形式不变性，将方程求全微分即得 18xdx一54(ydx+xdy)+180ydy一6zdy一6ydz一2zdz=0， 即 (18x一54y)dx+(180y一54x一6z)dy一(6y+2z)dz=0． 从而 [*] ②可化简为x=3y，由③可得z=30y一9x=3y，代入①可解得两个驻点x=3，y=1，z=3与z=一3，y=一1，z=一3． (Ⅱ)z=z(x，y)的极值点必是它的驻点，为判定z=z(x，y)在两个驻点处是否取得极值，还需求z=z(x，y)在这两点的二阶偏导数． 注意，在驻点P=(3，1，3)，Q=(一3，一1，一3)处，[*]=0 由(3y+z)[*]=9x一27y→ 在驻点P，Q处 [*]
解析
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考研数学二

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