首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设二次型f(x1，x2，x3)﹦x12﹢x22﹢x32－2x1x2－2x1x3﹢2ax2x3通过正交变换化为标准形f﹦2y12﹢2y22﹢by32。 (I)求常数a，b及所用的正交变换矩阵Q； (Ⅱ)求f在xTx﹦3下的最大值。
设二次型f(x1，x2，x3)﹦x12﹢x22﹢x32－2x1x2－2x1x3﹢2ax2x3通过正交变换化为标准形f﹦2y12﹢2y22﹢by32。 (I)求常数a，b及所用的正交变换矩阵Q； (Ⅱ)求f在xTx﹦3下的最大值。
admin
2022-10-13
29
问题
设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)﹦x
1
2
﹢x
2
2
﹢x
3
2
－2x
1
x
2
－2x
1
x
3
﹢2ax
2
x
3
通过正交变换化为标准形f﹦2y
1
2
﹢2y
2
2
﹢by
3
2
。
(I)求常数a，b及所用的正交变换矩阵Q；
(Ⅱ)求f在x
T
x﹦3下的最大值。
选项
答案
(I)由题意得，二次型矩阵及其对应的标准形矩阵分别为 [*] 由矩阵B可知，矩阵A的特征值为2，2，b。矩阵A的迹tr(A)﹦3﹦2﹢2﹢6，所以b﹦－1。 由于2是矩阵A的二重特征值，而实对称矩阵A必可相似对角化，所以矩阵A的对应于特征值2的线性无关的特征向量有2个。于是矩阵A－2E的秩为1，而 [*] 所以a﹦－1。 由(A－λE)x﹦0得，特征值为λ
1
﹦λ
2
﹦2，λ
3
﹦－1，对应的特征向量分别为 α
1
﹦(1，0，－1)
T
，α
2
﹦(0，1，－1)
T
，α
3
﹦(1，1，1)
T
， 由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，所以只需将α
1
，α
2
正交化得 [*] 再将β
1
，β
2
，α
3
单位化得 [*] 则正交变换矩阵为[*] (Ⅱ)二次型f﹦x
T
Ax在正交变换X﹦Qy，下的标准形为f﹦2y
1
2
﹢2y
2
2
－y
3
2
。条件x
T
x﹦3等价于y
T
Q
2
Qy﹦y
1
2
﹢y
2
2
﹢y
3
2
﹦3；此时f﹦2y
1
2
﹢2y
2
2
－y
3
2
﹦6－3y
3
2
的最大值为6，所以f在x
T
x﹦3的条件下的最大值为6。 本题考查二次型的正交变换。考生可由题干给出的标准形得出二次型矩阵的特征值，进而由二次型矩阵及其对应的标准形矩阵的性质得到常数a，b的值。考生可由矩阵的特征方程解得矩阵的特征向量，对特征向量正交化、单位化，即可求出所用的正交变换矩阵。
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/CbuRFFFM
0
考研数学一
相关试题推荐
设3阶对称矩阵A的特征值为λ1＝6，λ2＝λ3＝3，与特征值λ1＝6对应的特征向量为p1＝(1，1，1)T，求A．
求矩阵A＝的特征值与特征向量．
设A＝，且A与B相似，则R(AB－A)＝__________．
设A＝，则对应于特征值1的特征向量是__________．
已知3阶实矩阵A＝的一个特征向量为p1＝，求参数a，b以及A的所有特征值和特征向量．
已知二次型f(x1，x2，x3)＝2x12＋3x22＋3x32＋2ax2x3(a﹥0)，通过正交变换可化为标准形f＝y12＋2y22＋5y312，求参数a以及所用的正交变换．
设随机变量X～U(0，1)，Y～E(1)，且X，Y相互独立，求Z=X+Y的密度函数fz(z)．
设P(x，y，z)，Q(x，y，z)与R(x，y，z)在空间区域Ω内连续并且有连续的一阶偏导数，则“当(x，y，z)∈Ω时，，是“对于Ω内的任意一张逐片光滑的封闭曲面S，”的()
设X,Y分别服从参数为的0一1分布，且它们的相关系数则X与Y的联合概率分布为_____________．
均匀几何体Ω是直线L：绕z轴旋转一周而成曲面∑位于z=0与z=1之间的部分，则几何体Ω的质心为()．
随机试题
简要说明为什么新事物必然战胜旧事物。
社会生产力状况决定人类采取何种经济形式。
门静脉高压症患者，在一般情况下不主张放置胃管，其理由是避免
在我国的司法实践中，个别地区遇到特大案件时，常常在侦查阶段即要求人民法院派员介入，名曰公检法三机关联合办案，这种做法从法律上看：
李某任职于我国境内某研究所，利用工作的便利，获知许多国家秘密。李某通过互联网将这些国家秘密非法发送给境外某机构，对李某的行为应当如何认定?()
有一个普通完全井，其直径为1m，含水层厚度H=11m，土壤渗透系数k=2m／h。抽水稳定后的井中水深h0=8m，试估算井的出水量：
某商业企业采用售价金额核算法计算期末存货成本。本月月初存货成本为30000元，售价总额为45000元；本月购入存货成本为150000元，相应的售价总额为180000元；本月销售收入为120000元。该企业本月销售成本为()元。
很多妇女受到家庭暴力不报案，或者没有得到及时的救助和干预，以至于演变成严重的致伤、致残和致死案件。究其原因，是因为人们普遍缺少对家庭暴力的认识，而法律中又没有制裁家庭暴力的具体条文规定。如果针对妇女的家庭暴力开展干预，通常需要妇联、公检法司、医院卫生等多个
请认真阅读下文，并回答问题。《海底世界》你可知道，大海深处是怎样的吗?海面上波涛澎湃的时候，海底依然很宁静。最大的风浪，也只能影响到海面以下几十米，最强烈的阳光也射不到海底，水越深光线越暗，五百米以下就全黑了。
编写函数fun，它的功能是计算下列级数和，和值由函数值返回。例如，当n=10，x=0．3时，函数值为1．349859。注意：部分源程序在文件PROGI．C文件中。请勿改动主函数main和其他函数中的任何内容，仅在函数fun的
最新回复
(
0
)
