设A是n阶矩阵,对于齐次线性方程组(Ⅰ)Anx=0和(Ⅱ)An+1x=0,现有四个命题: ①(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解; ②(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解; ③(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解; ④(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解。 以上命题中正确的是( )

admin2018-05-17  54

问题 设A是n阶矩阵,对于齐次线性方程组(Ⅰ)Anx=0和(Ⅱ)An+1x=0,现有四个命题:
①(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解;   
②(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解;
③(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解;   
④(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解。
以上命题中正确的是(    )

选项 A、①②。
B、①④。
C、③④。
D、②③。

答案A

解析 若Anα=0,则An+1α=A(Anα)=A0=0,即若α是(1)的解,则α必是(2)的解,可见命题①正确。
如果An+1α=0,而Anα≠0,那么对于向量组α,Aα,A2α,…,Anα,一方面有:
若kα+k1Aα+k2A2α+…+knAnα=0,用An左乘上式的两边得kAnα=0。由Anα≠0可知必有k=0。类似地可得k1=k2=…=kn=0。因此,α,Aα,A2α,…,Anα线性无关。
但另一方面,这是n+1个n维向量,它们必然线性相关,两者矛盾。故An+1α=0时,必有A2α=0,即(2)的解必是(1)的解。因此命题②正确。
所以应选A。
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