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  3. 设向量组I：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2…，βs线性表示，则( )

设向量组I：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2…，βs线性表示，则( )

admin2019-12-26  12
问题 设向量组I：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2…，βs线性表示，则(    )
选项 A、当r＜s时，向量组Ⅱ必线性相关．
B、当r＞s时，向量组Ⅱ必线性相关．
C、当r＜s时，向量组I必线性相关．
D、当r＞s时，向量组I必线性相关．
答案D
解析 向量组I的秩记为r(I)，Ⅱ的秩记为r(Ⅱ)．由于向量组I可由向量组Ⅱ线性表示，所以r(I)≤r(Ⅱ)≤s，
若r＞s，则有
               r(I)≤s＜t，
故此时向量组I必线性相关．故应选(D)．
    也可用下述方法否定(A)、(B)、(C)．
    令向量组I、Ⅱ分别为
              I：(1，0，0)，(0，1，0)．
             Ⅱ：(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)．
    显然，向量组I可由向量组Ⅱ线性表示，且此时r=2＜s=3，但向量组I、Ⅱ均线性无关，故排除选项(A)、(C)．
    令向量组I、Ⅱ分别为
           I：(1，0，0)，(2，0，0)．
           Ⅱ：(1，0，0)．
    显然，向量组I可由向量组Ⅱ线性表示，且此时r=2＞s=1，但向量组Ⅱ线性无关，故排除选项(B)．
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考研数学三

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