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  3. 设f’(x)连续，F(x)=∫0xf(t)f’(2a—t)dt，证明 F(2a)一2F(a)=f2(a)一f(0)f(2a)

设f’(x)连续，F(x)=∫0xf(t)f’(2a—t)dt，证明 F(2a)一2F(a)=f2(a)一f(0)f(2a)

admin2015-07-10  32
问题  设f’(x)连续，F(x)=∫0xf(t)f’(2a—t)dt，证明    F(2a)一2F(a)=f2(a)一f(0)f(2a)
选项
答案左边：F(2a)一2F(a)=∫02af(t)f’(2a—t)dt一2∫0af(t)f’(2a一t)dt =∫a2af(t)f’(2a-t)f’(2a一t)dt—∫0af(t)f’(2a一t)dt 对于上式结果前半部分有：∫a2af(t)f’(2a一t)dt=一∫a2af(t)df(2a一t) =一[f(t)f(2a—t)]|a2a+∫a2af(2a一t)f’(t)dt =f2(a)一f(0)f(2a)+∫a2af(2a一t)f’(t)dt 令u=2a一t，则有∫a2af(2a一t)f’(t)dt =一∫a0f(u)f’(2a一u)du=∫0af(u)f’(2a一u)du 则左边=F(2a)一2F(a) =f2(a)一f(0)f(2a)+∫a2af(2a一t)f’(t)dt—∫0af(t)f’(2a一t)dt =f2(a)一f(0)f(2a)+∫0af(u)f’(2a—u)du—∫0af(t)f’(2a—t)dt =f2(a)-f(0)f(2a) 即：F(2a)一2F(a)=f2(a)-f(0)f(2a)
解析
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经济类联考综合能力

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