已知齐次方程组为其中ai≠0． (1)讨论a1，a2，…，an和b满足何种关系时方程组有非零解； (2)在方程组有非零解时，写出一个基础解系．

admin2016-10-21 42

问题已知齐次方程组为

其中

a_i≠0．
(1)讨论a₁，a₂，…，a_n和b满足何种关系时方程组有非零解；
(2)在方程组有非零解时，写出一个基础解系．

选项

答案(1)用矩阵消元法．设系数矩阵为A，A第1至(n－1)行各减去第n行： [*] 如果b＝0，则r(A)＝1，此时有非零解．当b≠0时，继续对B作初等行变换：1至n－1行都除以b，再把第i行的－a_i倍加到第n行上(1≤i≤n－1)， [*] 则当b＝－[*]a_i时，r(A)＝n－1，此时也有非零解．如果b≠0且b≠－[*]a_i，则r(A)＝n，此时只有零解． (2)在b＝0时求AX＝0的基础解系：此时AX＝0与方程a₁χ₁＋a₂χ₂＋a₃χ₃＋…＋a_nχ_n＝0，同解．由于[*]a_i≠0，a₁，a₂，…，a_n不全为0．不妨设a_n≠0，规定 η₁＝(a_n，0，…，0，－a₁)^T， η₂＝(0，a_n，0，…，－a₂)^T，…，η_n-1＝(0，…，0，a_n，－a_n-1)^T，则η₁，η₂，…，η_n-1是n－1个线性无关的解，构成AX＝0的基础解系．在b＝－[*]a_i时， C＝[*] 则AX＝0与CX＝0同解，向量(1，1，…，1)^T构成基础解系．

解析

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考研数学二

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已知齐次方程组为其中ai≠0． (1)讨论a1，a2，…，an和b满足何种关系时方程组有非零解； (2)在方程组有非零解时，写出一个基础解系．

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