2. 考研
  3. 设f(χ)在[0，1]上可微，且f(1)＝2f(χ)dχ．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f′(ξ)＝2ξf(ξ).

设f(χ)在[0，1]上可微，且f(1)＝2f(χ)dχ．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f′(ξ)＝2ξf(ξ).

admin2022-10-09  31
问题 设f(χ)在[0，1]上可微，且f(1)＝2f(χ)dχ．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f′(ξ)＝2ξf(ξ).
选项
答案令φ(χ)＝[*]f(χ)，显然φ(χ)在[0，1]上可微，由积分中值定理得 f(1)＝[*]， 从而e-1f(1)＝e[*]f(c)，其中c∈[0，[*]]，于是φ(c)＝φ(1)． 由罗尔定理，存在ξ∈(c，1)[*](0，1)，使得φ′(ξ)＝0．而φ′(χ)＝e[*]f′(χ)－2χe[*]f(χ)，所以[*]＝0，注意到[*]≠0，故f′(ξ)－2ξf(ξ)＝0，即f′(ξ)＝2ξf(ξ)．
解析
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考研数学二

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