2. 考研
  3. 计算下列二重积分： (Ⅰ)｜x2+y2一1｜dσ，其中D={(x，y)｜0≤x≤l，0≤y≤}； (Ⅱ)｜sin(x一y)｜dσ，其中D={(x，y)｜0≤x≤y≤2π}．

计算下列二重积分： (Ⅰ)｜x2+y2一1｜dσ，其中D={(x，y)｜0≤x≤l，0≤y≤}； (Ⅱ)｜sin(x一y)｜dσ，其中D={(x，y)｜0≤x≤y≤2π}．

admin2017-10-23  35
问题 计算下列二重积分：
    (Ⅰ)｜x2+y2一1｜dσ，其中D={(x，y)｜0≤x≤l，0≤y≤}；
    (Ⅱ)｜sin(x一y)｜dσ，其中D={(x，y)｜0≤x≤y≤2π}．
选项
答案(Ⅰ)将积分区域分块，如图4．40．设 D1={(x，y)｜x2+y2≤1}∩D，D2={(x，y)｜x2+y2≥1}∩D，则D=D1+D2，且可分块计算二重积分 [*] 用极坐标x=cosθ，y=rsinθ计算第一个二重积分．由于 [*] 计算第二个二重积分．由于D2=D—D1，故 [*] (Ⅱ)依图4．41所示将区域D分割，则 [*]sin(y—x)dxdy =∫0πdx∫x+π1πsin(x一y)dy+∫0πdx∫xx+πsin(y—x)dy+∫π2πdxsin(y一x)dy =∫0πcos(x—y)｜x+π2πdx一∫π2πcos(y一x)｜xx+πdx—∫π2πcos(y—x)｜x2πdx
解析
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考研数学三

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