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  3. 设向量组α1，α2，…，αt是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解，即Aβ≠0．证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．

设向量组α1，α2，…，αt是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解，即Aβ≠0．证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．

admin2020-03-05  28
问题 设向量组α1，α2，…，αt是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解，即Aβ≠0．证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．
选项
答案设kβ+k1(β+α1)+…+kt(β+αt)=0，即 (k+k1+…+kt)β+k1α1+…+ktαt=0， 等式两边左边乘A，得(k+k1+…+kt)Aβ=0[*]k+k1+…+kt=0，故k1α1+…+ktαt=0． 由α1，α2，…，αt线性无关，得k1=…=kt=0，故k=0，所以β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．
解析
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考研数学一

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