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设向量组α1=[1,1,1,3]T,α2=[一1,一3,5,1]T,α3=[3,2,一1,p+2]T,α4=[一2,一6,10,p]T. p为何值时,该向量组线性无关?并在此时将向量α=[4,1,6,10]T用α1,α2,α3 ,α4 线性表出;
设向量组α1=[1,1,1,3]T,α2=[一1,一3,5,1]T,α3=[3,2,一1,p+2]T,α4=[一2,一6,10,p]T. p为何值时,该向量组线性无关?并在此时将向量α=[4,1,6,10]T用α1,α2,α3 ,α4 线性表出;
admin
2021-01-19
54
问题
设向量组α
1
=[1,1,1,3]
T
,α
2
=[一1,一3,5,1]
T
,α
3
=[3,2,一1,p+2]
T
,α
4
=[一2,一6,10,p]
T
.
p为何值时,该向量组线性无关?并在此时将向量α=[4,1,6,10]
T
用α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性表出;
选项
答案
将给定向量作为列向量组成矩阵,并对矩阵施行初等行变换化为行阶梯形.求出其极大无关组,进一步将虚线左侧的矩阵化成单位矩阵,即可写出α用α
1
,α
2
,α
3
,α
4
的线性表出. 对矩阵A=[α
1
,α
2
,α
3
,α
4
:α]作初等行变换,化为行阶梯形矩阵: [*] 显然当p一2≠0即p≠2时,对A
1
继续进行初等行变换,将其前4列化为单位向量: [*]=[β
1
,β
2
,β
3
,β
4
:β]=A
2
, 其中β
i
(i=1,2,3,4),β分别为A
1
的列向量,易看出β
1
,β
2
,β
3
,β
4
线性无关,且 β=2β
1
+[(3p一4)/(p一2)]β
2
+1·β
3
+[(1一p)/(p一2)]β
4
, 则α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性无关,且向量α可用α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性表示,即 α=2α
1
+[(3p一4)/(p一2)]α
2
+α
3
+[(1一p)/(p一2)]α
4
.
解析
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