设矩阵试判断A，B是否相似，若相似，求出可逆矩阵P，使B=P-1AP．

admin2020-09-25 43

问题设矩阵

试判断A，B是否相似，若相似，求出可逆矩阵P，使B=P^-1AP．

选项

答案|λE一A|=[*]=(λ一2)(λ²一1)，故A的特征值为2，1，一1．因A的特征值各不同，且A是三阶矩阵，所以[*] 易求得A的对应于特征值2，1，一1的特征向量分别为[*] 令X=(η₁，η₂，η₃)=[*]，则有X^-1AX=[*] |λE一B|=[*]=(λ一1)(λ+1)(λ一2)，因此B的三个不同特征值为λ₁=2，λ₂=1，λ₃=一1，因此B～[*]．所以A与B相似．同理易求得B对应于特征值2，1，一1的特征向量分别为[*] 令Q=(α₁，α₂，α₃)=[*] 因此X^-1AX=Q^-1BQ，所以B=QX^-1AXQ^-1=(XQ^-1)^-1A(XQ^-1)．因此所求P=XQ^-1=[*]

解析

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考研数学三

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