设矩阵B=,矩阵A～B,则r(A－E)+r(A－3E)=( )。

admin2022-03-23 70

问题设矩阵B=

,矩阵A～B,则r(A－E)+r(A－3E)=( )。

选项 A、4
B、5
C、6
D、7

答案C

解析由矩阵B的特征多项式

=λ(λ+2)(λ－3)²
可得B的特征值为λ₁=0，λ₂=－2，λ₃=λ₄=3
因为A～B，所以矩阵A与矩阵B有相同的特征值，又因为B是实对称矩阵，故B可相似于对角矩阵，从而矩阵A也可相似于对角矩阵，所以矩阵A的2重特征值λ₃=λ₄=3，必有2个线性无关的特征向量，由此可知
r(3E－A)=n－2=4－2=2
即r(A－3E)=2,又因为λ=1不是矩阵A的特征值，故知｜E－A｜≠0,所以r(E－A)=4,即r(A－E)=4.
因此r(A－E)+r(A－3E)=4+2=6,选C。

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