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  3. 设随机变量X的概率密度为f(χ)＝ae－2｜χ｜(－∞＜χ＜＋∞)，随机变量Y1＝｜X｜，Y2＝X2． (Ⅰ)确定常数a的值； (Ⅱ)讨论X与Yi(i＝1，2)的相关性与独立性．

设随机变量X的概率密度为f(χ)＝ae－2｜χ｜(－∞＜χ＜＋∞)，随机变量Y1＝｜X｜，Y2＝X2． (Ⅰ)确定常数a的值； (Ⅱ)讨论X与Yi(i＝1，2)的相关性与独立性．

admin2019-02-26  39
问题 设随机变量X的概率密度为f(χ)＝ae－2｜χ｜(－∞＜χ＜＋∞)，随机变量Y1＝｜X｜，Y2＝X2．
    (Ⅰ)确定常数a的值；
    (Ⅱ)讨论X与Yi(i＝1，2)的相关性与独立性．
选项
答案(Ⅰ)1＝∫－∞＋∞f(χ)dχ＝a∫－∞＋∞e－2｜χ｜dχ＝2a∫0＋∞e－2χdχ＝a[*]a＝1． (Ⅱ)EX＝∫－∞＋∞χf(χ)dχ＝∫－∞＋∞χe－2｜χ｜dχ＝0， EXY1＝EX｜X｜＝∫－∞＋∞χ｜χ｜ee－2｜χ｜dχ＝0， cov(X，Y1)＝EXY1－EXEY1＝0． 从cov(X1，Y1)＝0可得X与Y1不相关． 对于任何正实数b：0＜b＜＋∞，有0＜P{X≤b}＜1，但是 P{X≤b，Y1≤b}＝P{X≤b，｜X｜≤b}＝P{｜X｜≤b}＝P{Y1≤b}， P{X≤b}P{Y1≤b}＜P{Y1≤b}． 由于当b＞0时，P{X≤b，Y1≤b}≠P{X≤b}P{Y1≤b}，因此X与Y1不独立．我们的结论是X与Y1不相关，但是它们不独立． 类似地有EXY2＝EXX2＝EX3＝0，cov(X，Y2)＝EXY2－EXEY2＝0． 因此，X与Y2亦不相关． 对任何实数c＞0，P{X≤c}＜1．但是当c＞1时，事件{X≤c}[*]{X2≤c}． P{X≤c，Y2≤c}＝P{X≤c，X2≤c}＝P{X2≤c}＝P{Y2≤c}， P{X≤c}P{Y2≤C}＜P{Y2≤c}． 由于P{X≤c，Y2≤c}≠P{X≤c}P{Y2≤c}，因此X与Y2也不独立．
解析
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考研数学一

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