2. 公务员
  3. 如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°． (1)证明：AB⊥A1C； (2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB＝2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．

如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°． (1)证明：AB⊥A1C； (2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB＝2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．

admin2015-12-09  15
问题 如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°．
    (1)证明：AB⊥A1C；
    (2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB＝2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．
选项
答案(1)过C点作CD⊥AB于D，连接A1D． 因为AC＝BC，CD⊥AB，所以D为AB的中点． 又因为在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AA1，且∠BAA1＝60°， 所以△AA1B是正三角形，所以A1D⊥AB． 因为A1D与CD交于D点，所以AB⊥平面A1DC． 又因为A1C[*]平面A1DC，所以AB⊥A1C． [*] (2)如图所示建立空间直角坐标系， 因为AB＝CB＝CA＝AA1＝2， 所以点C坐标为(0，0，[*])，B(－1，0，0)，B1(－2，[*]，0)， C1(－1，[*]，A1(0，[*]，0) 所以[*] 设平面BB1C1C的法向量n＝(χ，y，z)，则[*]． 设χ＝[*]，则法向量n＝([*]，1，－1)， 又因为CA1＝(0，[*])， 所以向量CA1与法向量n的夹角α的余弦值为cosα＝[*] 故CA1与平面BB1C1C的夹角的正弦值为[*] [*]
解析
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