设向量组α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3，线性表示，向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则必有( )

admin2018-02-07 28

问题设向量组α₁，α₂，α₃线性无关，向量β₁可由α₁，α₂，α₃，线性表示，向量β₂不能由α₁，α₂，α₃线性表示，则必有( )

选项 A、α₁，α₂，β₁线性无关。
B、α₁，α₂，β₂线性无关。
C、α₂，α₃，β₁，β₂线性相关。
D、α₁，α₂，α₃，β₁+β₂线性相关。

答案B

解析由α₁，α₂，α₃线性无关，且β₂不能由α₁，α₂，α₃线性表示知，α₁，α₂，α₃，β₂线性无关，从而部分组α₁，α₂，β₂线性无关，故B为正确答案。下面证明其他选项的不正确性。
取α₁=(1，0，0，0)^T，α₂=(0，1，0，0)^T，α₃=(0，0，1，0)^T，β₂=(0，0，0，1)^T，β₁=α₁，知选项A与C错误。
对于选项D，由于α₁，α₂，α₃线性无关，若α₁，α₂，α₃，β₁+β₂线性相关，则β₁+β₂可由α₁，α₂，α₃线性表示，而β₁可由α₁，α₂，α₃线性表示，从而β₂可由α₁，α₂，α₃线性表示，与假设矛盾，从而D错误。

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考研数学二

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