[2010年] 求函数f(x)=∫1x2(x3一t)e-t3dt的单调区间与极值．

admin2019-04-05 70

问题 [2010年] 求函数f(x)=∫₁^x²(x³一t)e^-t³dt的单调区间与极值．

选项

答案先正确求出y′及其驻点，然后利用命题1．4．2．2列表讨论，判断极值点并求出单调区间．利用变限积分求导公式，由f(x)=x²∫₁^x²e^-t²dt－∫₁^x²te^-t²dt出得到 f′(x)=2x∫₁^x²e^-t²dt+x²e^-(x²)²．2x一x²e^(x²)²．2x，=2x∫₁^x²e^-t²dt．令f′(x)=0得x=0，x=±1．于是f′(x)的符号及f(x)的单调性如下表所示： [*] 由此可见，f(x)在区间(一∞，一1]上单调减少,f(一1)=0是极小值，f(x)在区间[－1，0]上单调增加，f(0)=∫₀¹te^-t²dt=一[*]是极大值，f(x)在区间[0，1]上单调减少，f(1)=0是极小值，f(x)在区间[1，+∞)上单调增加．

解析

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考研数学二

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设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内存在二阶导数，且2f(0)=∫02f(x)dx=f(2)+f(3)。证明存在ξ∈(0，3)，使f’’(ξ)=0。
设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内存在二阶导数，且2f(0)=∫02f(x)dx=f(2)+f(3)。证明存在η∈(0，2)，使f(n)=f(0)；
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