设函数f(x)处处可导,且又设x0为任意一点,数列{xn}满足xn=f(xn-1)(n=1,2,…),试证:当n→∞时,数列{xn}的极限存在.

admin2019-12-26  114

问题 设函数f(x)处处可导,且又设x0为任意一点,数列{xn}满足xn=f(xn-1)(n=1,2,…),试证:当n→∞时,数列{xn}的极限存在.

选项

答案先证{xn}单调. 由xn+1-xn=f(xn)-f(xn-1)=(xn-xn-1)f′(ξn),其中ξn在xn与xn-1之间. 又由已知条件,f(x)处处可导,且[*]于是知f′(ξn)≥0,从而(xn+1-xn)与(xn-xn-1)同号,故 {xn}单调. [*] 故由单调有界准则知,数列{xn}的极限存在.

解析
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