设f(x)是以2π为周期的二阶可导函数,满足关系式f(x)+2f’(x+π)=sinx,求f(x).

admin2021-08-05  50

问题 设f(x)是以2π为周期的二阶可导函数,满足关系式f(x)+2f’(x+π)=sinx,求f(x).

选项

答案若f(x)为可导的周期函数,则f’(x)亦为周期函数,且周期不变,于是f’(x+2π)=f’(x).于是根据 f(x+π)+2f’(x+2π)=sin(x+π), 有 f(x+π)+2f’(π)=一sinx, 两边对x求导,得 f’(x+π)+2f”(x)=一cosx. 与题设关系式联立,消去f’(x+π),得 4f”(x)—f(x)=一sinx一2cosx, (*) 对于4f”(x)一f(x)=0,即f”(x)—[*]f(x)=0,特征方程为r2一[*]=0,得r1,2=±1/2,故对应齐次方程的通解为[*] 设非齐次方程(*)的特解为y*(x)=acosx+6sinx代入方程得a=2/5,b=1/5,故非齐次方程的通解为 [*] 因为f(x+2π)=f(x),故 [*] 于是C1=C2=0,所以[*]

解析
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