试证：R(A＋B)≤R(A)＋R(B)．

admin2020-06-05 11

问题试证：R(A＋B)≤R(A)＋R(B)．

选项

答案令A＝(α₁，α₂，…，α_n)，B＝(β₁，β₂，…，β_n)，且R(A)＝s，R(B)＝t．不妨设A的一个极大无关组为α₁，α₂，…，α_s，B的一个极大无关组为β₁，β₂，…，β_t．再令 C＝(α₁，α₂，…，α_s，β₁，β₂，…，β_t)，D＝(α₁，α₂，…，α_n，β₁，β₂，…，β_n)且向量组D可由向量组C线性表示，故 R(D)≤R(C)≤s＋t＝R(A)＋R(B) 又因为A＋B＝(α₁＋β₁，α₂＋β₂，…，α_n＋β_n)能由向量组D线性表示，所以R(A＋B)≤R(D)，从而R(A＋B)≤R(A)＋R(B)．

解析

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考研数学一

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