2. 考研
  3. 设f’(x)=[φ(x)]2，其中φ(x)在(-∞，+∞)内恒为负值，其导数φ’(x)为单调减函数，且φ’(x0)=0，则下列结论正确的是[ ]．

设f’(x)=[φ(x)]2，其中φ(x)在(-∞，+∞)内恒为负值，其导数φ’(x)为单调减函数，且φ’(x0)=0，则下列结论正确的是[ ]．

admin2016-03-01  32
问题 设f’(x)=[φ(x)]2，其中φ(x)在(-∞，+∞)内恒为负值，其导数φ’(x)为单调减函数，且φ’(x0)=0，则下列结论正确的是[    ]．
选项 A、y=f(x)所表示的曲线在(x0，f(x0))处有拐点
B、x=x0是y=f(x)的极大值点
C、曲线y=f(x)在(一∞，+∞)上是凹的
D、f(x0)是f(x)在(一∞，+∞)上的最大值
答案A
解析 因φ(x)在(一∞，+∞)内恒为负值，所以f’(x0)=[φ(x0)]2≠0，由取得极值的必要条件，x0一定不是f(x)的极值点，故不选(B)；又如果f(x)的最值点x0在开区间(一∞，+∞)内取得，则x0一定是极值点，由上面的分析知，x0一定不是f(x)的极值点，故不选(D)．
    f"(x)=2φ(x)φ’(x)．由题设φ(x)=0得f"(x0)=2φ(x0)φ(x0)=0．又因为φ’(x)是单调递减函数，φ(x)<0，所以，当x∈(一∞，x0)时f"(x)<0；当x∈(x0，+∞)时f"(x)>0．这表明(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的拐点．
    故选(A)．
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