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  3. 选择常数λ取的值，使得向量A(x，y)=2xy(x4+y2)λi—x2(x4+y2)λj在如下区域D为某二元函数u(x，y)的梯度：(Ⅰ)D={x，y)｜y＞0}，并确定函数u(x，y)的表达式；(Ⅱ)D={(x，y)｜x2+y2＞0}．

选择常数λ取的值，使得向量A(x，y)=2xy(x4+y2)λi—x2(x4+y2)λj在如下区域D为某二元函数u(x，y)的梯度：(Ⅰ)D={x，y)｜y＞0}，并确定函数u(x，y)的表达式；(Ⅱ)D={(x，y)｜x2+y2＞0}．

admin2020-03-05  28
问题 选择常数λ取的值，使得向量A(x，y)=2xy(x4+y2)λi—x2(x4+y2)λj在如下区域D为某二元函数u(x，y)的梯度：(Ⅰ)D={x，y)｜y＞0}，并确定函数u(x，y)的表达式；(Ⅱ)D={(x，y)｜x2+y2＞0}．
选项
答案记A=P(x，y)i+Q(x，y)j，先由(P，Q)为某二元函数u的梯度(即du=Pdx+Qdy)的必要条件[*]定出参数λ． [*]=2x(x4+y2)λ+λ4xy2(x4+y2)λ—1，[*]=—2x(x4+y2)λ一λ4x5(x2+y2)λ—1 [*]4x(x4+y2)λ+4λx(x4+y2)λ=0([*]x＞0)→λ=一1． (Ⅰ)由于D={(x，y)｜y＞0}是单连通，λ=一1是存在u(x，y)使du=Pdx+Qdy的充要条件，因此仅当λ=一1时存在u(x，y)使(P，Q)为u的梯度． 现求u(x，y)，使得du(x，y)=[*]． 凑微分法． [*] (Ⅱ)D={(x，y)｜x2+y2＞0｜是非单连通区域，[*]((x，y)∈D)不足以保证Pdx+Qdy存在原函数．我们再取环绕(0，0)的闭曲线C：x4+y2=1，逆时针方向，求出 ∫CPdx+Qdy=∫C[*](一2x一2x)dxdy=0， 其中D0是C围成的区域，它关于y轴对称．于是∫LPdx+Qdy在D与路径无关，即Pdx+Qdy在D存在原函数．因此，仅当λ=一1时A(x，y)=(P，Q)在D为某二元函数u(x，y)的梯度．
解析
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