[2008年] 设银行存款的年利率为r=0．05，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n年提取(10+9n)万元，并按此规律一直提取下去，问A至少应为多少万元?

admin2019-03-30 58

问题 [2008年] 设银行存款的年利率为r=0．05，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n年提取(10+9n)万元，并按此规律一直提取下去，问A至少应为多少万元?

选项

答案解一设A_n，为用于第n年提取(10+9n)万元的贴现值，则A_n=(1+r)ⁿ(10+9n)，故 [*] 因 [*] 故[*]下面计算[*] 设[*]则由命题1．5．2．4(6)得到 [*] 则由上式得到 [*] 故A=200+9×420=3980(万元)，即至少应投入3980万元．解二设第t年提款后的余款是y_t，由题意知，y_t应满足方程 y_t=(1+0．05)y_t－1－(10+9y)，即 y_t－1．05y_t-1=－(10+9t)． ① 上述方程对应的齐次方程为y_t－1．05y_t－1=0，其通解为 Y_t=c(1．05)^t，c为任意常数．设方程①的特解为y^*=at+b，将其代入方程①解得a=180，b=3980，故方程①的通解为 y_t=Y_t+y^*=c(1．05)^t+180t+3980．由y₀=A，Y_t≥0得到A=c+3980，c≥0，故A至少为3980万元．

解析

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考研数学三

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[2008年] 设银行存款的年利率为r=0．05，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n年提取(10+9n)万元，并按此规律一直提取下去，问A至少应为多少万元?

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