已知A为n(n≥3)阶非零实矩阵,Aij为A中元素aij的代数余子式,证明: aijAT=E,且|A|=1;

admin2019-04-22  67

问题 已知A为n(n≥3)阶非零实矩阵,Aij为A中元素aij的代数余子式,证明:
aijAT=E,且|A|=1;

选项

答案当aij=Aij时,有AT=A*,则ATA=A*A=|A|E。由于A*为n阶非零实矩阵(aij不全为零),所以tr(AtA)=[*]aij2>0,而tr(ATA)=tr(|A|E)=n|A|,故|A|>0。在ATA =|A|E两边取行列式,得|A|n-2=1,从而|A|=1。 反之,若ATA=E且|A|=1,则A*A=|A|E=ATA,于是AT=A*,即aij=Aij

解析
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