2. 考研
  3. 已知函数f(x)在区间(1一δ，1一δ)内具有二阶导数，f’(x)严格单调减少，且f(1)=f’(1)=1，则( )．

已知函数f(x)在区间(1一δ，1一δ)内具有二阶导数，f’(x)严格单调减少，且f(1)=f’(1)=1，则( )．

admin2015-08-28  25
问题 已知函数f(x)在区间(1一δ，1一δ)内具有二阶导数，f’(x)严格单调减少，且f(1)=f’(1)=1，则(    )．
选项 A、在(1一δ，1)和(1，1+δ)内均有f(x)＜x
B、在(1一δ，1)和(1，1+δ)内均有f(x)＞x
C、在(1一δ，1)内，f(x)＜x，在(1，1+δ)内，f(x)＞x
D、在(1一δ，1)内，f(x)＞x,在(1，1+δ)内，f(x)＜x
答案A
解析 设F(x)=f(x)一x，则
    F(1)=f(1)一1=0，F’(x)=f’(x)一1，
    F’(1)=f’(1)一1=0，F"(x)=f"(x)，
由f’(x)在(1一δ，1+δ)内严格单调减少知，F"(x)＜0．
    从而F’(x)在(1一δ，1+δ)一内单调减少，即x∈(1一δ，1)时，F’(x)＞F’(1)=0；x∈(1，1+δ)时，F’(x)＜F’(1)=0．
    当x∈(1一δ，1)时，由F’(x)＞c，知F(x)单增，即F(x)＜F(1)=0，也即f(x)＜x；
    当x∈(1，1+δ)时，由F’(x)＜C，知F(x)单减，即F(x)＜F(1)=0，也即f(x)＜x．
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