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设y=y(x)是一向上凸的连续曲线,其上任意一点(x,y)处的曲率为且此曲线上点(0,1)处的切线方程为y=x+1,求该曲线方程。
设y=y(x)是一向上凸的连续曲线,其上任意一点(x,y)处的曲率为且此曲线上点(0,1)处的切线方程为y=x+1,求该曲线方程。
admin
2018-12-27
17
问题
设y=y(x)是一向上凸的连续曲线,其上任意一点(x,y)处的曲率为
且此曲线上点(0,1)处的切线方程为y=x+1,求该曲线方程。
选项
答案
因曲线上凸,故有y"<0。由曲率计算公式,得 [*] 即y"=-(1+y
’2
),这是不显含x也不显含y的可降价方程。令p=y’,则y"=P’,上述微分方程可化为p’=-(1+p
2
),解此可分离变量的微分方程可得arctanp=C
1
-x,即arctany’=C
1
-x。 由曲线过点(0,1),且在该点切线方程为y=x+1,可得初始条件y(0)=1,y’(0)=1。故由y’(0)=1,得[*]因此[*]即[*]等式两端积分可得 [*] 由y(0)=1,得[*]因此所求曲线方程为 [*]
解析
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考研数学一
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