设y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为且此曲线上点(0，1)处的切线方程为y=x+1，求该曲线方程。

admin2018-12-27 15

问题设y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为

且此曲线上点(0，1)处的切线方程为y=x+1，求该曲线方程。

选项

答案因曲线上凸，故有y"<0。由曲率计算公式，得 [*] 即y"=－(1+y^’2)，这是不显含x也不显含y的可降价方程。令p=y’，则y"=P’，上述微分方程可化为p’=－(1+p²)，解此可分离变量的微分方程可得arctanp=C₁－x，即arctany’=C₁－x。由曲线过点(0，1)，且在该点切线方程为y=x+1，可得初始条件y(0)=1，y’(0)=1。故由y’(0)=1，得[*]因此[*]即[*]等式两端积分可得 [*] 由y(0)=1，得[*]因此所求曲线方程为 [*]

解析

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考研数学一

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