设向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组线性相关的是( ).

admin2022-06-15  20

问题 设向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组线性相关的是(    ).

选项 A、α1-α2,α2-α3,α3-α1
B、α12,α23,α31
C、α1-α3,α3-α2,α21
D、α1,α2-α3,α23

答案A

解析 选项A,两向量组的关系可表示为
1-α2,α2-α3,α3-α1)

其中转换矩阵为A1

且由|A1|=0,知该向量组线性相关.故选A.
选项B,由(α12,α23,α31)

其中转换矩阵为A2

且由|A2|=2≠0,知该向量组线性无关.
选项C,由(α1-α3,α3-α2,α21)

其中转换矩阵为A3

且由|A3|=-2≠0,知该向量组线性无关.
选项D,由(α1,α2-α3,α23)

其中转换矩阵为A4

且由|A4|=2≠0,知该向量组线性无关.
讨论由线性无关向量组α1,α2,…,αs的线性组合生成的向量组β1,β2,…,βs的线性相关性,应该引入转换矩阵A,化为(β1,β2,…,βs)=(α1,α2,…,αs)A.于是,β1,β2,…,βs线性相关(线性无关)的充分必要条件是|A|=0(|A|≠0).找对转换矩阵A就找到了解决问题的关键.
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