设抛物线y=x2与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为S，其中一条切线与抛物线相切于点A(a，a2)(a＞0)． (Ⅰ)求S=S(a)的表达式； (Ⅱ)当口取何值时，面积S(a)最小?

admin2016-03-26 48

问题设抛物线y=x²与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为S，其中一条切线与抛物线相切于点A(a，a²)(a＞0)．
(Ⅰ)求S=S(a)的表达式；
(Ⅱ)当口取何值时，面积S(a)最小?

选项

答案(Ⅰ)设另一个切点为(x₀，[*])，则抛物线y=x²的两条切线分别为 L₁:y=2ax一a²，L₂:y=2x₀x—[*] 因为L₁⊥L₂，所以x₀=一[*]，两条切线L₁，L₂的交点为x₁=[*]，y₁=ax₀，L₁，L₂及抛物线y=x²所围成的面积为 S(a)=[*]dx+[*][x²一a²]dx =[*] (Ⅱ)令S’(a)=[*](a+[*])²(1一[*])=0，得a=[*]，因为当a∈(0，[*])时，S’(a)＜0，当a＞[*]时，S’(a)＞0，所以当a=[*]时，面积S(a)取最小值．

解析

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考研数学三

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设抛物线y=x2与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为S，其中一条切线与抛物线相切于点A(a，a2)(a＞0)． (Ⅰ)求S=S(a)的表达式； (Ⅱ)当口取何值时，面积S(a)最小?

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