设二维连续型随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)，则随机变量Z=Y－X的概率密度fZ(z)= ( )

admin2019-02-23 45

问题设二维连续型随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)，则随机变量Z=Y－X的概率密度f_Z(z)= ( )

选项 A、∫_－∞^+∞f(x，z－x)dx
B、∫_－∞^+∞f(x，x－z)dx
C、∫_－∞^+∞f(x，z+x)dx
D、∫_－∞^+∞f(－x，z+x)dx

答案C

解析记Z的分布函数为F_Z(z)，则
F_Z(z)=P{Z≤z}=P(Y－X≤z}=

=∫_－∞^+∞dx∫_－∞^+∞f(x，y)dy， ①
其中D_z={(x，y)｜y－x≤z)，如图3—4所示的阴影部分．

又
∫_－∞^+∞f(x，y)dy

∫_－∞^z(x，u+x)du． ②
将②代入①得
F_Z(z)=∫_－∞^+∞dx∫_－∞^zf(x，u+x)du=∫_－∞^zdu∫_－∞^+∞f(x，u+x)dx．
于是f_Z(z)=

=∫_－∞^+∞f(x，z+x)dx．因此本题选C．

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