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(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理:若函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,6)内可导,则存在ξ∈(a,b),使得f(b)—f(A)=f’(ξ)(b—a)。 (Ⅱ)证明:若函数f(x)在x=0处连续,在(0,δ)(δ>0)内可导,且f’(x)=A,则f+’(0)
(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理:若函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,6)内可导,则存在ξ∈(a,b),使得f(b)—f(A)=f’(ξ)(b—a)。 (Ⅱ)证明:若函数f(x)在x=0处连续,在(0,δ)(δ>0)内可导,且f’(x)=A,则f+’(0)
admin
2019-05-08
42
问题
(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理:若函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,6)内可导,则存在ξ∈(a,b),使得f(b)—f(A)=f’(ξ)(b—a)。
(Ⅱ)证明:若函数f(x)在x=0处连续,在(0,δ)(δ>0)内可导,且
f’(x)=A,则f
+
’
(0)存在,且f
+
’
(0)=A。
选项
答案
(Ⅰ)作辅助函数φ(x)=f(x)一f(a)一[*](x—a),易验证φ(x)满足:φ(a)=φ(b);φ(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且 [*] 根据罗尔定理,可得在(a,b)内至少有一点ξ,使φ’(ξ)=0,即 [*] 所以f(b)—f(A)=f’(ξ)(b—a)。 (Ⅱ)任取x
0
∈(0,δ),则函数f(x)满足在闭区间[0,x
0
]上连续,开区间(0,x
0
)内可导,因此由拉格朗日中值定理可得,存在 [*] 故f
+
’
(0)存在,且f
+
’
(0)=A。
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/8ZnRFFFM
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考研数学三
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