2. 考研
  3. 设p(x)，q(x)与f(x)均为连续函数，f(x)≠0．设y(x)，y(x)与y(x)是二阶线性非齐次方程 y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x) ① 的3个解，且 则式①的通解为________

设p(x)，q(x)与f(x)均为连续函数，f(x)≠0．设y(x)，y(x)与y(x)是二阶线性非齐次方程 y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x) ① 的3个解，且 则式①的通解为________

admin2019-05-14  45
问题 设p(x)，q(x)与f(x)均为连续函数，f(x)≠0．设y(x)，y(x)与y(x)是二阶线性非齐次方程
    y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)    ①
的3个解，且
   
则式①的通解为________
选项
答案y=C1(y1-y2)+C2(y2-y3)+y1，其中C1，C2为任意常数
解析 由非齐次线性方程的两个解，可构造出对应的齐次方程的解，再证明这样所得到的解线性无关便可．
  y1-y2与y2-y3均是式①对应的线性齐次方程
    y’’+p(x)y’+q(x)y=0   ②
的两个解．今证它们线性无关．事实上，若它们线性相关，则存在两个不全为零的常数k1与2使k1(y1-y2)+k2(y2-y3)=0．    ③
设k1≠0，又由题设知y2-y3≠0，于是式③可改写为=常数，矛盾．若k1=0，由y2-y3≠0，故由式③推知k2=0矛盾．这些矛盾证得y1-y2与y2-y3线性无关．于是    Y=C1(y1-y2)+C2(y2-y3)    ④
为式②的通解，其中C1，C2为任意常数，从而知y=C1(y1-y2)+C2(y2-y3)+y1    ⑤
为式①的通解．
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