当x＞0时，证明：ex＞1+x．

admin2022-09-20 6

问题当x＞0时，证明：e^x＞1+x．

选项

答案证法1：在[0，x]上令F(x)=e^x，则使用拉格朗日定理得，　F(x)-F(0)=F′(ξ)(x-0)，ξ∈(0，x)，即e^x-1=e^ξ·x，　由于e^ξ＞1，所以e^x-1＞x，即e^x＞1+x．　证法2：令G(x)=e^x-1-x，则G′(x)=e^x-1，故在[0，x]内G′(x)＞0，　所以在[0，x]上G(x)单调递增，由G(0)=0，得x＞0时，G(x)＞0，　即e^x-1-x＞0，亦即e^x＞1+x．

解析

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本试题收录于：高等数学二题库成考专升本分类