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  3. (I)设函数y=y(x)由方程sin(x2+y2)+ex—xy2=0所确定，求 (Ⅱ)设ex+y=y确定y=y(x)，求y’，y”； (Ⅲ)设函数y=f(x+y)，其中f具有二阶导数，且f’≠1，求

(I)设函数y=y(x)由方程sin(x2+y2)+ex—xy2=0所确定，求 (Ⅱ)设ex+y=y确定y=y(x)，求y’，y”； (Ⅲ)设函数y=f(x+y)，其中f具有二阶导数，且f’≠1，求

admin2019-07-19  19
问题 (I)设函数y=y(x)由方程sin(x2+y2)+ex—xy2=0所确定，求
(Ⅱ)设ex+y=y确定y=y(x)，求y’，y”；
(Ⅲ)设函数y=f(x+y)，其中f具有二阶导数，且f’≠1，求
选项
答案(I)将原方程两边直接对x求导数，并注意y是x的函数，然后解出y’即可．由 (2x+2y.y’)cos(x2+y2)+ex一y2一2xy.y’=0， 得[*] (Ⅱ)注意y是x的函数，将方程两端对x求导得 ex+y(1+y’)=y’，即[*] 再将y’的表达式对x求导得 [*] (Ⅲ)y=y(x)由方程f(x+y)一y=0确定，f为抽象函数，若把f(x+y)看成f(u)，而u=x+y，y=y(x)，则变成复合函数和隐函数的求导问题．注意，f(x+y)及其导函数f’(x+y)均是x的复合函数． 将y=f(x+y)两边对x求导，并注意y是x的函数，f是关于x的复合函数，有y’=f’.(1+y’)， 即[*](其中f’=f’(x+y))． 又由y’=(1+y’)f’再对x求导，并注意y’是x的函数，f’即f’(x+y)仍然是关于x的复合函数，有 y”=(1+y’)’f’+(1+y’)(f’)x’ =y"f’+(1+y’)f”?(1+y’)=y"f’+(1+y’)2f"， 将[*]代入并解出y”即得 [*](其中f’=f’(x+y)，f”=f”(x+y))． 或直接由[*]再对x求导，同样可求得[*]
解析
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考研数学一

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