2. 考研
  3. 设矩阵Am×n的秩为秩(A)=m＜n，Em为m阶单位矩阵，下述结论中正确的是( )．

设矩阵Am×n的秩为秩(A)=m＜n，Em为m阶单位矩阵，下述结论中正确的是( )．

admin2019-07-12  52
问题 设矩阵Am×n的秩为秩(A)=m＜n，Em为m阶单位矩阵，下述结论中正确的是(    )．
选项 A、A的任意m个列向量必线性无关
B、A的任意一个m阶子式不等于零
C、若矩阵B满足BA=O，则B=O
D、A通过初等行变换，必可化为[Em，O]的形式
答案C
解析 解一  由BA=O知，秩(A)+秩(B)≤m．又秩(A)=m，故秩(B)≤0．又秩(B)≥0，所以秩(B)=0，即B=O．仅(C)入选．
    解二  由BA=O知，A的每列向量均为BX=0的解向量．又由题设知，A的列向量组中有m个线性无关，故BX=0的解集合中至少含有m个线性无关的解向量．因而BX=0的基础解系中的含解向量的个数m一秩(B)≥m，故秩(B)≤0．又对于任意矩阵均有秩(B)≥0，故秩(B)=0，所以B=O．仅(C)入选．
    解三  由BA=O有ATBT=O，则BT的每列均为ATX=0的解向量，而AT列满秩，故ATX=0只有零解．因而BT的每列即B的每行都等于零，于是B=O．仅(C)入选．
    解四  选项(A)和(B)中的“任意”改为“存在”，结论才正确．选项(D)中“通过初等行变换”改为“通过初等行变换和列变换”才正确，因而排除(A)、(B)、(D)．仅(C)入选．
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考研数学三

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