2. 考研
  3. 设二维随机变量(X，Y)在区域D上服从均匀分布，其中D由y=|x|与y=1所围成． (Ⅰ)求X，Y的边缘密度函数，并判断X，Y是否独立； (Ⅱ)设Z=X+Y，求fz(z)； (Ⅲ)求ρxz．

设二维随机变量(X，Y)在区域D上服从均匀分布，其中D由y=|x|与y=1所围成． (Ⅰ)求X，Y的边缘密度函数，并判断X，Y是否独立； (Ⅱ)设Z=X+Y，求fz(z)； (Ⅲ)求ρxz．

admin2022-12-09  23
问题 设二维随机变量(X，Y)在区域D上服从均匀分布，其中D由y=|x|与y=1所围成．
(Ⅰ)求X，Y的边缘密度函数，并判断X，Y是否独立；
(Ⅱ)设Z=X+Y，求fz(z)；
(Ⅲ)求ρxz．
选项
答案(Ⅰ)(X，Y)的联合密度函数为 [*] X的边缘密度函数为fX(x)=∫-∞+∞f(x，y)dy， 当x≤-1或x≥1时，fX(x)=0； 当-1＜x≤0时，fX(x)=∫-x1dy=1+x； 当0＜x＜1时，fX(x)=∫x1dy=1-x， [*] (Ⅲ)E(X)=0，E(X2)=∫-11x2(1-|x|)dx=2∫01(x2-x3)dx=1/6，D(X)=1/6， E(Z)=∫02z(1-z/2)dz=∫02(z-z2/2)dz=2/3， E(Z2)=∫02z2(1-z/2)dz=02(z2-z3/2)dz=2/3，则D(Z)=E(Z2)-[E(Z)2]=2/9， 由E(XZ)=E[X(X+Y)]=E(X2)+E(XY)=1/6+E(XY)， [*]
解析
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考研数学三

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