设α是n维单位列向量，A=E－ααT,证明：r(A)＜n.

admin2021-11-25 30

问题设α是n维单位列向量，A=E－αα^T,证明：r(A)＜n.

选项

答案A²=(E－αα^T)(E－αα^T)=E－2αα^T+αα^T·αα^T，因为α为单位列向量，所以α^Tα=1，于是A²=A,由A(E－A)=O得r(A)+r(E－A)≤n 又由r(A)+r(E－A)≥r[A+(E－A)]=r(E)=n,得r(A)+r(E－A)=n 因为E－A=αα^T≠O,所以r(E－A)=r(αα^T)=r(α)=1,故r(A)=n－1＜n。

解析

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考研数学二

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