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若函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内具有二阶导数,f(0)=f(1)=0,f″(x)<0,且f(x)在[0,1]上的最大值为M.求证: f(x)>0(x∈(0,1)).
若函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内具有二阶导数,f(0)=f(1)=0,f″(x)<0,且f(x)在[0,1]上的最大值为M.求证: f(x)>0(x∈(0,1)).
admin
2019-01-29
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问题
若函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内具有二阶导数,f(0)=f(1)=0,f″(x)<0,且f(x)在[0,1]上的最大值为M.求证:
f(x)>0(x∈(0,1)).
选项
答案
[*] 由题设条件及罗尔定理,[*]a∈(0,1),f′(a)=0.由f″(x)<0(x∈(0, 1))→f′(x)在(0,1)↘ [*] f(x)在[0,a] ↗,在[a,1]↘ f(x)>f(0)=0(0<x≤a), f(x)>f(1)=0(a≤x<1), f(x)>0(x∈(0,1)).
解析
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考研数学二
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