2. 考研
  3. 设f(x)在(a，b)内二阶可导，且f"(x)＞0，证明：对于(a，b)内任意两点x1，x2及0≤t≤1，有f[(1一t)x1+tx2]＜(1一t)f(x1)+ty(x2)．

设f(x)在(a，b)内二阶可导，且f"(x)＞0，证明：对于(a，b)内任意两点x1，x2及0≤t≤1，有f[(1一t)x1+tx2]＜(1一t)f(x1)+ty(x2)．

admin2020-05-02  13
问题 设f(x)在(a，b)内二阶可导，且f"(x)＞0，证明：对于(a，b)内任意两点x1，x2及0≤t≤1，有f[(1一t)x1+tx2]＜(1一t)f(x1)+ty(x2)．
选项
答案方法一 设x0=(1－t)x1+tx2．f(x)在点x=x0处的一阶泰勒公式为 [*] 因为f"(x)＞0，所以f(x)＞f(x0)+f′(x0)(x－x0)，故 f(x1)＞f(x0)+f′(x0)(x1－x0)，f(x2)＞f(x0)+f′(x0)(x2－x0) 从而 (1－t)f(x1)+tf(x2) ＞(1－t)[f(x0)+f′(x0)(x1－x0)]+t[f(x0)+f′(x0)(x2－x0)] =(1－t)f(x0)+(1－t)f′(x0)(x1－x0)+tf(x0)+tf′(x0)(x2－x0) =f(x0)[(1－t)+t]+(1－t)tf′(x0)(x1－x2)+(1－t)tf’(x0)(x2－x1) =f(x0)=f[(1－t)x1+tx2] 因此 f[(1－t)x1+tx2]＜(1－t)f(x1)+tf(x2) 方法二 设x0=(1－t)x1+tx2．于是由拉格朗日中值定理，得 f[(1－t)x1+tx2]－(1－t)f(x1)－tf(x2) =(1－t)f[(1－t)x1+tx2]－(1－t)f(x1)+tf[(1－t)x1+tx2]－tf(x2) =(1－t){f[(1－t)x1+tx2]－f(x1))+t{f[(1－t)x1+tx2]－f(x2)) =(1－t)tf′(ξ1)(x2－x1)+t(1－t)f′(ξ2)(x1－x2) =(1－t)t(x2－x1)[f′(ξ1)－f′(ξ2)] =(1－t)t(x2－x1)(ξ1－ξ2)f"(ξ) 不妨设x1＜x2 2，于是x1＜ξ1＜(1－t)x1+tx2＜ξ＜x2，所以x2＞x1，ξ2＞ξ1，再由f"(x)＞0，可推知(1－t)t(x2－x1)(ξ1－ξ2)f"(ξ)＜0．因此 f[(1－t)x1+tx2]＜(1－t)f(x1)+tf(x2)
解析
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