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  3. 构造正交矩阵Q，使得QTAQ是对角矩阵

构造正交矩阵Q，使得QTAQ是对角矩阵

admin2020-03-16  32
问题 构造正交矩阵Q，使得QTAQ是对角矩阵
选项
答案(1)先求特征值 ｜λE－A｜＝[*]＝λ(λ－2)(λ－6)． A的特征值为0，2，6． 再求单位正交特征向量组 属于0的特征向量是齐次方程组AX＝0的非零解， A＝[*] 得AX＝0的同解方程组[*] 求得一个非零解为(1，1，－1)T，单位化得 γ1＝[*](1，1，－1)T． 属于2的特征向量是齐次方程组(A－2E)X＝0的非零解， A－2E＝[*] 得AX＝0的同解方程组[*] 求得一个非零解为(1，－1，0)T，单位化得 γ2＝[*](1，－1，0)T． 属于6的特征向量是齐次方程组(A－6E)X＝0的非零解， A＝[*] 得AX＝0的同解方程组[*] 求得一个非零解为(1，1，2)T，单位化得 γ3＝*](1，1，2)T 作正交矩阵 Q＝(γ1，γ2，γ3)，则QTAQ＝Q-1AQ＝[*] (2)先求特征值 ｜λE－A｜＝[*]＝(λ－1)2(λ－10)． A的特征值为1，1，10． 再求单位正交特征向量组 属于1的特征向量是齐次方程组(A－E)X＝0的非零解， A－E＝[*] 得(A－E)X＝0的同解方程组χ1＋2χ2－2χ4＝0， 显然α1＝(0，1，1)T是一个解．第2个解取为α2＝(c，－1，1)T(保证了与α1的正交性!)，代入方程求出c＝4，即α2＝(4，－1，1)T． 令γ1＝α1／‖α1‖＝[*](0，1，1)T，γ2是＝α2／‖α2‖＝[*](4，－1，1)T． 再求出属于10的特征向量是齐次方程组(A－10E)X＝0的非零解(1，2，－2)T，令 γ3＝α3‖α3‖＝(1，2，－2)T／3． 作正交矩阵Q＝(γ1，γ2，γ3)． 则QTAQ＝Q-1AQ＝[*]
解析
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考研数学二

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