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设f(x)是[0,1]上的连续函数，证明： ∫0πxf(sinx)dx=∫0πf(sinx)dx 并由此计算.

admin2022-09-05  37
问题 设f(x)是[0,1]上的连续函数，证明：
∫0πxf(sinx)dx=∫0πf(sinx)dx
并由此计算.
选项
答案作换元x=π－t,则由诱导公式sin(π－t)=sint，有 I=∫0πxf(sinx)dx=∫π0(π－t)f[sin(π－t)]d(π－t)=∫0π(π－t)f(sint)dt =π∫0πf(sint)dt－∫0πtf(sint)dt=π∫0πf(sint)dt－I 故2I=π∫0πf(sint)dt，即I=[*]∫0πf(sinx)dx，等式得证 利用这个公式，由于[*],它具有xf(sinx)的形式，故有 [*]
解析
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考研数学三

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