欧几里得几何系统的第五条公理断定：在同一平面上，过直线外一点可以并且只可以作一条直线与该直线平行。在数学发展史上，有许多数学家对这条公理是否具有无可争议的真理性表示怀疑和担心。要使数学家的上述怀疑成立，以下哪项必须成立? ( ) Ⅰ．

admin2015-09-15 45

问题欧几里得几何系统的第五条公理断定：在同一平面上，过直线外一点可以并且只可以作一条直线与该直线平行。在数学发展史上，有许多数学家对这条公理是否具有无可争议的真理性表示怀疑和担心。
要使数学家的上述怀疑成立，以下哪项必须成立? ( )
Ⅰ．在同一平面上，过直线外一点可能无法作一条直线与该直线平行。
Ⅱ．在同一平面上，过直线外一点作多条直线与该直线平行是可能的。
Ⅲ．在同一平面上，如果过直线外一点不可能作多条直线与该直线平行，那么，也无法只作一条直线与该直线平行。

选项 A、只有Ⅰ。
B、只有Ⅱ。
C、只有Ⅲ。
D、只有Ⅰ和Ⅱ。
E、Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。

答案C

解析令p表示“过直线外一点可以作一条直线与该直线平行”，q表示“过直线外一点只可以作一条直线与该直线平行”。第五公理是断定“p并且q”。要使对第五公理的怀疑成立，“p并且q”必须是假命题。“并非(p并且q)”等值于“非p或者非q”。“非p或者非q”表示p和q之中至少有一个假命题，但p自身不必一定是假命题，q自身也不必一定是假命题。也就是说，要使对第五公理的怀疑成立，必须断定p和q中至少有一个假命题，但不必须断定p是假命题，也不必须断定q是假命题。Ⅰ断定p是假命题。要使对第五公理的怀疑成立，工项不必须成立。Ⅱ断定q是假命题。要使对第五公理的怀疑成立，Ⅱ项不必须成立。Ⅲ断定：如果q真，则p假(这也相当于如果p真，则q假)，这等于断定：p和q之中至少有一个假命题。要使对第五公理的怀疑成立，Ⅲ项必须成立。

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