2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上有界，{an}[a，b]，an=c．证明：若f(x)在[a，b]上只有an(n=1，2，…)为其间断点，则f(x)在[a，b]上可积．

设f(x)在[a，b]上有界，{an}[a，b]，an=c．证明：若f(x)在[a，b]上只有an(n=1，2，…)为其间断点，则f(x)在[a，b]上可积．

admin2022-11-23  12
问题 设f(x)在[a，b]上有界，{an}[a，b]，an=c．证明：若f(x)在[a，b]上只有an(n=1，2，…)为其间断点，则f(x)在[a，b]上可积．
选项
答案 不妨设[*]an=c=a，f(x)在[a，b]上的振幅为ω．对[*]ε＞0，取0＜δ＜ε／2ω，因[*]an=a，所以存在N，当n＞N时，an∈[a，a+δ]，从而f(x)在[a+δ，b]上至多只有有限个间断点，从而f(x)在[a+δ，b]上可积，因此，存在[a+δ，b]上的分割T*，使[*]，把[a，a+δ]与T*合并，就构成了[a，b]的一个分割T，则 [*] 其中ω0为f(x)在[a，a+δ]上的振幅．故由可积的充要条件知，f(x)在[a，b]上可积．
解析
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考研数学一

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