2. 考研
  3. 设函数y=y(x)在(-∞，+∞)内具有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数。 (Ⅰ)试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程； (Ⅱ)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y’(0)=的解。

设函数y=y(x)在(-∞，+∞)内具有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数。 (Ⅰ)试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程； (Ⅱ)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y’(0)=的解。

admin2017-01-14  39
问题 设函数y=y(x)在(-∞，+∞)内具有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数。
(Ⅰ)试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程；
(Ⅱ)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y’(0)=的解。
选项
答案(Ⅰ)由反函数的求导公式知[*]，于是有 [*] 代入原微分方程得 y-y’’=sinx。 (*) (Ⅱ)方程(*)所对应的齐次方程y’’-y=0的通解为 y=C1ex+C2e-x。 设方程(*)的特解为 y*=Acosx+Bsinx， 代入方程(*)，求得A=0，B=[*]，因此y’’-y=sinx的通解是 y=Y+y*=C1ex+C2e-x-[*] 由y(0)=0，y’(0)=[*]，得C1=1，C2=-1。故所求初值问题的解为 y=ex-e-x-[*]
解析
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考研数学一

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