2. 考研
  3. 设n元线性方程组Ax=b，其中A=，x=(x1，…，xn)T，b=(1，0，…，0)T． (Ⅰ)证明行列式｜A｜=(n+1)an； (Ⅱ)a为何值时，方程组有唯一解?求x1； (Ⅲ)a为何值时，方程组有无穷多解?求通解．

设n元线性方程组Ax=b，其中A=，x=(x1，…，xn)T，b=(1，0，…，0)T． (Ⅰ)证明行列式｜A｜=(n+1)an； (Ⅱ)a为何值时，方程组有唯一解?求x1； (Ⅲ)a为何值时，方程组有无穷多解?求通解．

admin2013-10-11  51
问题 设n元线性方程组Ax=b，其中A=，x=(x1，…，xn)T，b=(1，0，…，0)T．
(Ⅰ)证明行列式｜A｜=(n+1)an；
(Ⅱ)a为何值时，方程组有唯一解?求x1；
(Ⅲ)a为何值时，方程组有无穷多解?求通解．
选项
答案(Ⅰ)利用行列式性质，有 [*] (Ⅱ)若使方程组Ax=b有唯一解，则｜A｜=(n+1)an≠0，即a≠0．则由克莱姆法则得 [*] (Ⅲ)若使方程组Ax=b有无穷多解，则｜A｜=(n+1)an=0，即a=0． 把a=0代入到矩阵A中，显然有[*]=r(A)=n-1，方程组的基础解系含一个解向量，它的基础解系为k(1，0，0，…，0)T(k为任意常数)． 代入a=0后方程组化为[*]特解取为(0，1，0，…，0)T，则方程组Ax=b的通解为k(1，0，0，…，0)T+(0，1，0，…，0)T，其中的k为任意常数．
解析
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考研数学三

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