设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f(1)=0.证明：存在ξ[(0，1)，使得 f″(ξ)=[2f′(ξ)]/(1-ξ)

admin2022-08-19 36

问题设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f(1)=0.证明：存在ξ[(0，1)，使得
f″(ξ)=[2f′(ξ)]/(1-ξ)

选项

答案令φ(x)=(x-1)²f′(x)，显然φ(x)在[0，1]上可导.由f(0)=f(1)=0，根据罗尔定理，存在c∈(0，1)，使得f′(c)=0，再由φ(c)=φ(1)=0，根据罗尔定理，存在ξ∈(c，1)[*](0，1)，使得φ′(ξ)=0，而 Ф′(x)=2(x-1)f′(x)+(x-1)²f″(c)，所以2(ξ-1)f′(ξ)+(ξ-1)²f″(ξ)=0，整理得f″(ξ)=2f′(ξ)/(1-ξ).

解析

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