设α1，α2，β1，β2均是三维向量，且α1，α2线性无关，β1，β2线性无关，证明存在非零向量γ，使得γ既可由α1，α2线性表出，又可由β1，β2线性表出。当α1=时，求出所有的向量γ。

admin2021-11-09 40

问题设α₁，α₂，β₁，β₂均是三维向量，且α₁，α₂线性无关，β₁，β₂线性无关，证明存在非零向量γ，使得γ既可由α₁，α₂线性表出，又可由β₁，β₂线性表出。
当α₁=

时，求出所有的向量γ。

选项

答案四个三维向量α₁，α₂，β₁，β₂必线性相关，故有不全为零的数k₁，k₂，l₁，l₂，使得 k₁α₁+k₂α₂+l₁β₁+l₂β₂=0。令γ=k₁α₁+k₂α₂= —l₁β₁—l₂β₂，则必有k₁，k₂不全为零。否则，若k₁=k₂=0，由k₁，k₂，l₁，l₂不全为零知，l₁，l₂不全为零，从而—l₁β₁—l₁β₂=0，这与β₁，β₂线性无关相矛盾，所以k₁，k₂不全为0。同理l₁，l₂亦不全为0。从而γ≠0，且它既可由α₁，α₂线性表出，又可由β₁，β₂线性表出。对已知的α₁，α₂，β₁，β₂，设x₁α₁+x₂α₂+y₁β₁+y₂β₂=0，对α₁，α₂，β₁，β₂组成的矩阵作初等行变换，有 [*] 于是得方程组的通解为k(0，—3，—2，1)^T，即 x₁=0，x₂= —3k，y₁= —2k，y₂=k，所以 γ= —3kα₂=[*]，l为任意常数。

解析

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考研数学二

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设α1，α2，β1，β2均是三维向量，且α1，α2线性无关，β1，β2线性无关，证明存在非零向量γ，使得γ既可由α1，α2线性表出，又可由β1，β2线性表出。当α1=时，求出所有的向量γ。

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设f(x)为二阶可导的奇函数，且x＜0时有f"(x)﹥0,则当x﹥0时有（）。

设a1=1,当n>1时，an+1=,证明：数列{an}收敛并求其极限。

设f(x)在[a,+∞)上连续，且存在.证明：f(x)在[a,+∞)上有界。

若由曲线，曲线上某点处的切线以及x=1,x=3围成的平面区域的面积最小，则该切线是（）。

设A是三阶矩阵，a1,a2,a3为三个三维线性无关的列向量，且满足Aa1=a2+a3，Aa2=a1+a3,Aa3=a1+a2.判断矩阵A可否对角化。

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极限=_________．

设方程组有通解k1ξ1+k2ξ2=k1[1，2，1，一1]T+k2[0，一1，一3，2]T．方程组有通解λ1η1+λ2η2=λ1[2，一1，一6，1]T+λ2[一1，2，4，a+8]T．已知方程组有非零解，试确定参数a的值，并求该非零解．

若连续函数f(x)满足关系式，则f(x)等于

设α1，α2…，αn(n≥2)线性无关，证明：当且仅当n为奇数时，α1+α2，α2+α3，…，αn+α1线性无关．

但丁的《神曲》中象征佛罗伦萨的政治迫害的是()

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Naturalflavoringsandfragrancesareoftencostlyandlimitedinsupply.Forexample,thevitalingredientinarosefragrance

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