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  3. 设{xn}为单调数列．证明：若{xn}存在聚点，则必是唯一的，且为{xn}的确界．

设{xn}为单调数列．证明：若{xn}存在聚点，则必是唯一的，且为{xn}的确界．

admin2022-11-23  11
问题 设{xn}为单调数列．证明：若{xn}存在聚点，则必是唯一的，且为{xn}的确界．
选项
答案设{xn}是一个单调递增数列．假设ξ，η是它的两个不相等的聚点，不妨设ξ＜η．令δ-η-ξ，则δ＞0，按聚点的定义，U(η；δ／2)中含有无穷多个{xn}中的点，设[*]于是U(ξ；δ／2)中只能含有{xn}中有限多个点，这与ξ是聚点矛盾．因此，若{xn}存在聚点，则必是唯一的． 假设{xn}无界，则[*]xn=+∞，即任给M＞0，存在正整数N，当n＞N时，xn＞M，于是小于M的只有有限项，因此不可能存在聚点，这与已知题设矛盾，故{xn}有界．对任给的ε＞0，由聚点定义，必存在xN，使ξ-ε＜xN＜ξ+ε，按上确界定义知ξ=sup{xn}． 综上所述，若{xn}有聚点，必唯一，恰为{xn}的确界．
解析
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