设A，B均为n阶对称矩阵，则不正确的是( )

admin2018-12-29 34

问题设A，B均为n阶对称矩阵，则不正确的是( )

选项 A、A+B是对称矩阵。
B、AB是对称矩阵。
C、A^*+B^*是对称矩阵。
D、A—2B是对称矩阵。

答案B

解析由题设条件，则
(A+B)^T=A^T+B^T=A+B，(kB)^T=kB^T=kB，
所以有 (A—2B)^T=A^T—(2B^T)=A—2B，
从而A、D两项是正确的。
首先来证明(A^*)^T=(A^T)^*，即只需证明等式两边(i，j)位置元素相等。(A^*)^T在位置(i，j)的元素等于A^*在(j，i)位置的元素，且为元素a_ij的代数余子式A_ij。而矩阵(A^T)^*在(i，j)位置的元素等于A^T的(j，i)位置的元素的代数余子式，因A为对称矩阵，即a_ji=a_ij，则该元素仍为元素a_ij的代数余子式A_ij。从而(A^*)^T=(A^T)^*=A^*，故A^*为对称矩阵，同理，B^*也为对称矩阵。结合选项A可知C项是正确的。
因为(AB)^T=B^TA^T=BA，从而B项不正确，故选B。
注意：当A，B均为对称矩阵时，AB为对称矩阵的充要条件是AB=BA。

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